Optimer din drift med matematiske modeller

Matematiske modeller kan være en stor hjælp til beslutningstagen og planlægningsaktiviteter på både et operationelt, taktisk og strategisk niveau. De kan udnyttes i mange forskellige anvendelser, f.eks. til prognoser, samt facilitets-, produktions- og transportplanlægning.

I denne artikel vil det blive demonstreret, hvordan en matematisk model kan anvendes til at optimere den taktiske produktions- og transportplanlægning.

Alle virksomheder opererer på tre niveauer; det operationelle, taktiske og strategiske niveau. Afhængig af kilden og branchen kan termerne have lidt forskellige betydninger, men generelt bruges det operationelle niveau om det arbejde, der får dag-til-dag driften til at fungere. Planlægningen på dette niveau vil være på et individuelt niveau. Et eksempel på en operationel opgave kan være produktionsplanlægningen af individuelle produkter. Den taktiske planlægning opererer med en lidt længeresigtet plan. Den typiske tovholder er her mellemlederen, som laver planlægning for produktgrupper snarere end enkelte produkter. Et element i denne planlægning vil typisk være kapacitetsplanlægning. Endelig er der så den strategiske planlægning, som typisk varetages af topledelsen. Her lægges mere langsigtede planer, som eksempelvis kunne omhandle opstart af nye produktionsfaciliteter eller lignende.

Som beskrevet vil denne artikel tage sit udgangspunkt i den taktiske planlægning. Har man produktion på flere lokationer, måske endda i forskellige lande, samt flere kunder spredt ud over forskellige regioner, kan det hurtigt blive komplekst at optimere produktions- og transportomkostninger. Til det kan matematiske modeller være et godt værktøj, som kan hjælpe til både bedre og hurtigere beslutninger.

 

Problembeskrivelse

Følgende er et eksempel på, hvordan en matematisk model kan opbygges og bruges til at løse et simpelt problem. Lad os forestille os en virksomhed med tre fabrikker som alle har en maksimal produktionskapacitet og ingen minimumskrav til produktionen. Fabrikkerne leverer varer til seks forskellige kunder, der hver har forskellig efterspørgsel. Derudover har virksomheden adgang til to distributionscentre, der hver har en givet maks. kapacitet. Alle fabrikker kan levere til alle kunder, og ligeledes kan distributionscentrene både modtage fra alle fabrikker og sende til alle kunder. Grafisk kan distributionsnetværket tegnes som på Figur 1.

Transportomkostningerne per enhed varer fra hver fabrik til hver kunde varierer. Priserne er vist i Tabel 1.

Figur 1. Grafisk fremstilling af distributionsnetværket mellem fabrikker (P) og kunder (C). De fede tal viser produktionskapaciteten for hver fabrik og kapaciteten for hvert distributionscenter (DC). De fede tal ved kunder angiver efterspørgslen.
Tabel 1. Transportomkostninger mellem de forskellige elementer i distributionsnetværket.

Figuren og tabellen ser måske ved første øjekast ret uoverskuelig ud, men lad os prøve manuelt at beslutte hvor meget hver fabrik skal producere, og hvilke kunder den skal forsyne.

 

Step 1 – Kan efterspørgslen dækkes af den tilgængelige produktionskapacitet?

  • Den totale produktionskapacitet: 75 enheder.
  • Den totale efterspørgsel: 54 enheder.

Dermed bør det ikke være et problem at dække hele efterspørgslen.

 

Step 2 – Beslut hvordan kundens efterspørgsel skal dækkes

Forskellige strategier kan bruges til dette. Her vælger vi at gøre det, så kunderne analyseres én for én, og efterspørgslen forsøges dækket billigst muligt.

Kunde 1 (efterspørgsel 5)

Ved at kigge i første søjle kan det ses, at kunde 1 billigst får opfyldt sin efterspørgsel ved at sende 5 enheder fra fabrik 3. Dette koster i alt 15.

Kunde 2 (efterspørgsel 10)

Ved at kigge i anden søjle kan det ses, at kunde 2 billigst får opfyldt sin efterspørgsel ved at sende 10 enheder fra fabrik 2. Dette koster i alt 30.

Kunde 3 (efterspørgsel 7)

Ved at kigge i tredje søjle kan det ses, at kunde 3 billigst får opfyldt sin efterspørgsel ved at sende 7 enheder fra enten fabrik 1 eller 2. Vi vælger at sende fra fabrik 2. Dette koster i alt 28.

Kunde 4 (efterspørgsel 12)

Ved at kigge i fjerde søjle kan det ses, at kunde 4 billigst får opfyldt sin efterspørgsel ved at sende 12 enheder fra enten fabrik 3. Men da fabrik 3 kun har 10 enheder tilbage af produktionskapaciteten, sendes de sidste 2 enheder fra fabrik 1 via DC1. De samlede omkostninger er 38.

Kunde 5 (efterspørgsel 3)

Ved at kigge i femte søjle kan det ses, at kunde 5 billigst får opfyldt sin efterspørgsel ved at sende 3 enheder fra fabrik 1. Dette koster i alt 6.

Kunde 6 (efterspørgsel 17)

Ved at kigge i sjette søjle kan det ses, at kunde 6 billigst får opfyldt sin efterspørgsel ved at sende 17 enheder fra fabrik 3. Men da fabrik 3 har nået sin max produktionskapacitet, sendes enhederne i stedet for fra fabrik 2. De samlede omkostninger er 51.

 

Step 3 – Evaluer og juster løsning

Af step 2 har vi fundet følgende løsning:

Produktion

  • P1: 5
  • P2: 10+7+17 = 34
  • P3: 5+10=15

DC

  • DC1: 2
  • DC2: 0

Tilfredsstillet efterspørgsel

  • C1: 5
  • C2: 10
  • C3: 7
  • C4: 12
  • C5: 3
  • C6: 17

Totale omkostninger: 15+30+28+36+38+6+51 = 168

Kan denne løsning forbedres? Hvis du prøver, vil du formodentlig hurtigt anerkende, at det er ret uoverskueligt og svært at gøre manuelt. Så forestil dig opgaven hvis du har 50 eller 100 kunder. Opgaven kan til gengæld nemt løses med en algoritme og computerkraft. 

Vi vil ikke her gå i dybden med algoritmerne og den matematiske model, i stedet gives blot en kort beskrivelse.

Modellen er meget simpel, når den formuleres med ord – minimer de totale omkostninger, mens samtlige kunders efterspørgsel tilfredsstilles.

Dette kan formuleres som et såkaldt lineært programmeringsproblem, som nemt kan løses med lineære programmeringsalgoritmer.

For det brugte eksempel findes den optimale løsning med algoritmen til en samlet omkostning på 158. Dette svarer til 5,9% besparelse i forhold til den manuelle løsning. Den optimale løsning har følgende værdier:

Produktion

  • P1: 22
  • P2: 17
  • P3: 15

DC

  • DC1: 12
  • DC2: 0

Tilfredsstillet efterspørgsel

  • C1: 5
  • C2: 10
  • C3: 7
  • C4: 12
  • C5: 3
  • C6: 17

Totale omkostninger: 158

Wrap-up

I denne artikel har vi kigget på et taktisk produktions- og transportplanlægningsproblem. Selvom problemet var ret lille og simpelt, viste det sig svært at finde en rigtig god løsning manuelt. I stedet blev det demonstreret, hvorledes problemet kunne løses optimalt med en algoritme.

Sidder du på nuværende tidspunkt så med hovedet fuldt af ideer til, hvordan dette kan hjælpe din virksomhed? Formodentligt ikke – fordi det problem vi her har undersøgt, er så simplificeret, at det ikke giver mening i forhold til de planlægningsproblemer, man møder i virkeligheden.

Men hvad hvis du får lov til at tilføje yderligere betingelser til modellen, som eksempelvis minimumsproduktion, mængde afhængige forsendelsespriser, faste omkostninger eller et strafbeløb for at produktionsmængden afviger fra en given målsætning? Da begynder den matematiske model og algoritmerne at kunne være et vigtigt værktøj i beslutningsprocessen, som hjælp til at optimere og simplificere problemet, så du kan koncentrere dig om de centrale dele af det.

Få mere information

Er du interesseret i en dialog om, hvordan du kan udnytte matematiske modeller i din virksomhed? Kontakt Head of Digital & Innovation, Kenneth Sandgaard, på ksa@freja.com eller på +45 9670 5360.

Hvordan kan vi hjælpe dig?

Download case
Kontakt os

Kontakt os for information om vores ydelser

Kenneth Sandgaard

Head of Digital & Innovation Denmark
+45 52 34 53 60
+45 96 70 53 60
ksa@freja.com